Bestimmung der Nullstellen quadratischer Funktionen
Ermittlung der Nullstellen quadratischer Funktionen
Berechnung von Nullstellen mittels der Mitternachtsformel (abc-Formel)
Zum Beitrag im Video
(00:44)
Die Nullstellen von quadratischen Funktionen der Form f(x) = ax2 + bx - c lassen sich stets mit der bewährten Mitternachtsformel ermitteln. Hierfür werden lediglich die Koeffizienten vor dem x2 (a), vor dem x (b) sowie der konstante Term (c) benötigt.
Mitternachtsformel für quadratische Funktionen
Die exakten Nullstellen x1 und x2 einer gegebenen quadratischen Funktion lauten:
Lassen Sie uns dies anhand eines konkreten Beispiels verdeutlichen:
f(x) = 2x2 + 4x - 6
In diesem Fall repräsentiert a = 2 (Koeffizient von x2), b = 4 (Koeffizient von x) und c = -6.
Der Prozess der Berechnung erfolgt in drei aufeinanderfolgenden Schritten:
- Erster Schritt: Setzen Sie die Funktion gleich Null:
2x2 + 4x - 6 = 0
- Zweiter Schritt: Setzen Sie die ermittelten Werte für a, b und c in die Mitternachtsformel ein. Achten Sie dabei besonders auf korrekte Vorzeichen, insbesondere bei negativen Werten (wie hier:-6):
- Dritter Schritt: Führen Sie die Berechnung der Mitternachtsformel zweimal durch: einmal mit dem Pluszeichen und einmal mit dem Minuszeichen vor der Wurzel: und
Die beiden ermittelten Nullstellen der quadratischen Funktion befinden sich bei den Werten x1 = 1 und x2 = -3. Dies bedeutet, dass die Funktion zwei Nullstellen besitzt. Allgemein gilt die folgende Regel:
Wie viele Nullstellen kann eine quadratische Funktion aufweisen?
- Zwei Nullstellen: Wenn der Ausdruck unter der Wurzel eine positive Zahl ergibt.
- Eine Nullstelle: Wenn der Ausdruck unter der Wurzel exakt Null ist.
- Keine Nullstelle: Wenn der Ausdruck unter der Wurzel eine negative Zahl darstellt.
Dieser Wert unter der Wurzel wird üblicherweise als Diskriminante bezeichnet.
Ein interessanter Hinweis:Sofern vor x2 kein Koeffizient explizit angegeben ist, kann alternativ die pq-Formel zur Bestimmung der Nullstellen quadratischer Funktionen herangezogen werden. Sehen Sie sich unser ergänzendes Video an, um diese Methode im Detail kennenzulernen!
Die Mitternachtsformel ist universell auf sämtliche Arten von quadratischen Funktionen anwendbar. Dennoch existieren zuweilen einfachere Methoden zur Ermittlung der Nullstellen einer Parabel. Informieren Sie sich hierzu über die Techniken des Ausklammerns sowie des Wurzelziehens.