Seitenberechnung im rechtwinkligen Dreieck
Was ist ein rechtwinkliges Dreieck?
| ...... | Ein rechtwinkliges Dreieck ist, wie der Name schon sagt, ein Dreieck mit einem rechten Winkel. |
Größen top
Die Größen im rechtwinkligen Dreieck sind die Katheten a und b, die Hypotenuse c, die Innenwinkel alpha und beta, die Höhe h, die Hypotenusenabschnitte p und q, der Radius des Umkreises R, der Radius des Inkreises r sowie der Flächeninhalt A.Wenn beispielsweise die Katheten a und b gegeben sind, lassen sich alle anderen Größen ermitteln.
Hypotenuse, Innenwinkel
| ...... | Die Hypotenuse c ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras c²=a²+b² zu c = sqrt(a²+b²). Für den Winkel alpha gilt die Beziehung tan(alpha) = a/b. Der Winkel beta ergänzt alpha auf 90°. |
Hypotenusenabschnitte, Höhe
| ...... | Die Hypotenuse c wird durch die Höhe h in die Hypotenusenabschnitte p und q aufgeteilt. Der Abschnitt p ergibt sich aus dem Kathetensatz pc = a² als p = a²/c = a²/sqrt(a²+b²). In Analogie gilt q = b²/c = b²/sqrt(a²+b²). |
Radius des Umkreises
| ...... | Der Radius des Umkreises ist gleich R = c/2 = (1/2)sqrt(a²+b²). |
Radius des Inkreises
Der Radius des Inkreises ist r = (1/2)(a+b-c) = (1/2)[a+b-sqrt(a²+b²)].
Herleitung
| ...... | ...... | Der Flächeninhalt des Dreiecks A = (1/2)ab lässt sich in drei Teilflächen zerlegen. Es gilt (1/2)ab = (1/2)br+(1/2)cr+(1/2)ar. Dann ist ab = ar+br+cr oder r = ab/(a+b+c). |
Die Formel r = ab/(a+b+c) kann zu r=(1/2)(a+b-c) umgeformt werden.
<=> ab/(a+b+c) = (1/2)(a+b-c) |2(a+b+c)
<=> 2ab = (a+b+c)(a+b-c)
<=> 2ab = [(a+b)-c][(a+b)+c]
<=> 2ab = (a+b)²-c²
<=> 2ab = a²+2ab+b²-c²
<=> a²+b² = c²
Flächeninhalt
| ...... | Das rechtwinklige Dreieck ist ein halbes Rechteck. Daher gilt A = (1/2)ab. |
Spezielle rechtwinklige Dreiecke top
Dreiecke mit besonderen Eigenschaften haben auf meiner Homepage eigene Seiten.
Drei ähnliche Dreiecke top
| ...... | Die Höhe teilt das Dreieck in zwei zum Ausgangsdreieck ähnliche Dreiecke, da entsprechende Winkel übereinstimmen. Für die Flächeninhalte gilt die Proportionskette [(1/2)(qh)]:[(1/2)(ph)]:[(1/2)(ab)] = [(b²/c)(ab/c)]:[(a²/c)(ab/c)]:(ab) = b²:a²:c² |
Satz des Thales top
Der Satz des Thales lautet:
| ...... | Ein Dreieck, dessen Grundseite ein Durchmesser eines Kreises ist und dessen Spitze auf der Kreislinie liegt, ist ein rechtwinkliges Dreieck. |
Zum Beweis
| ...... | Man teilt das rechtwinklige Dreieck durch einen Radius in zwei gleichschenklige Dreiecke auf. Die durch einen oder zwei Striche gekennzeichneten Basiswinkel ergeben zusammen 180°, die beiden Winkel an der Spitze damit 90°, wzbw. |
Der Satz lässt sich umkehren. Die Umkehrung besagt:
Liegt ein Dreieck in einem Halbkreis so, dass eine Seite der Durchmesser des Kreises ist und der dritte Eckpunkt auf der Kreislinie liegt, so ist das Dreieck rechtwinklig.
| ...... | Durchläuft der Scheitel alle Punkte eines Halbkreises (ausgenommen die Endpunkte), so entstehen sämtliche Formen eines rechtwinkligen Dreiecks. |
Sätze des rechtwinkligen Dreiecks top
Darunter versteht man neben dem Satz des Pythagoras noch den Kathetensatz, den Höhensatz und den Flächensatz.
Herleitungen
Satz des Pythagoras
Es existieren unzählige Herleitungen dieses Satzes.
| ...... | Grundlage dieses Beweises sind zwei Zerlegungen eines Quadrates der Seitenlänge b+a. Es gilt offensichtlich a²+b² = c². |
Die nachfolgenden Formeln werden algebraisch bewiesen.
Höhensatz
| ...... | Es gelten c=p+q und nach dem Satz des Pythagoras die Formeln a²+b² = c², p² = a²-h² und q² = b²-h². |
pq = h², wzbw.
Kathetensatz
Es gilt b² = h²+q² oder b² = pq+q² oder b² = q(p+q) oder b² = qc. In Analogie leitet man a² = pc her.
Flächensatz
Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks kann man über die Flächenformel des allgemeinen Dreiecks berechnen oder als halbes Rechteck. Aus A = (1/2)ch und A = (1/2)ab folgt ab = ch, wzbw.
Auf meiner Seite Formeln im Bild findet man Hinweise auf weitere Beweise der fünf Formeln.
Umkehrung des Satzes des Pythagoras
Der Satz des Pythagoras kann umgedreht werden. Die Umkehrung lautet:
Gilt in einem Dreieck mit den Seiten a,b und c die Formel a²+b² = c², so ist das Dreieck rechtwinklig.
Es folgt der übliche Beweis der Lehrbücher der Mathematik.
| ...... | Das sei das Dreieck ABC, für das die Formel c² = a²+b² gilt. Es ist zu zeigen, dass gamma = 90° ist. |
| ...... | Sind die Seiten a und b gegeben, so lässt sich eindeutig ein Dreieck mit einem rechten Winkel finden. Da ABC rechtwinklig ist, gilt d² = a²+b². |
Das bedeutet, dass c² = d² oder c = d ist.
Somit stimmen die beiden Dreiecke in allen Seiten überein und folglich nach dem ersten Kongruenzsatz auch in den Winkeln. - Es gilt gamma = 90°, wzbw.
Ein Dreieck im Dreieck top
Die Höhe und der Radius des Umkreises bilden ein rechtwinkliges Dreieck.
| Es gilt epsilon = 2beta und x = (1/2)(a²-b²)/c. |
Das Dreieck rechts ist gleichschenklig.
Die Winkelsumme ist beta+beta+(180°-epsilon) = 180°, woraus folgt epsilon = 2beta.
Die Hypotenuse c ist c = q+x+R. Setzt man c = b²/c+x+c/2 so ist x = c/2-b²/c = (c²-2b²)/(2c) = (1/2)(a²-b²)/c, wzbw.
Größtes Rechteck im Dreieck top
Es stellt sich die Frage, welches Rechteck im Dreieck den größten Flächeninhalt hat.
| ...... | Es bieten sich zwei Möglichkeiten an, ein größtes Rechteck in das Dreieck zu legen, entweder so, dass eine Seite parallel zur Hypotenuse oder dass ein rechter Winkel gemeinsam ist. |
| ...... | Unter allen denkbaren Rechtecken dieser Art soll jeweils das größte gefunden werden. |
1. Fall: Eine Seite ist parallel zur Hypotenuse.
| ...... | Man führt die Variablen x und y als Seiten des Rechtecks ein. |
Nach dem 2. Strahlensatz gilt x:c = (h-y):h oder hx = c(h-y) oder hx = ch-cy oder y = h-(h/c)x
Weiter gilt A(x) = hx-(h/c)x² und dann A'(x) = h-(2h/c)x.
A'(x) = 0 führt zu x = c/2. Das ist ein Maximalwert, weil A''(x)<0 ist.
Für die andere Rechteckseite ergibt sich y = h/2. Das maximale Rechteck hat den Flächeninhalt (1/4)ch.
2. Fall: Ein rechter Winkel ist gemeinsam.
| ...... | Man führt wieder die Variablen x und y für die Seiten des Rechtecks ein. |
Nach dem 2. Strahlensatz gilt x:b = (a-y):a oder ax = b(a-y) oder ax = ab-by oder y = a-(a/b)x.
Weiter gilt A(x) = ax-(a/b)x² und dann A'(x) = a-(2a/b)x.
A'(x) = 0 führt zu x = b/2. Das ist ein Maximalwert, weil A''(x)<0 ist.
Für die andere Rechteckseite ergibt sich y = a/2. Das maximale Rechteck hat den Flächeninhalt (1/4)ab.
Im ersten Fall ist der maximale Flächeninhalt (1/4)ch, im zweiten Falle (1/4)ab.
Nach dem Flächensatz sind die Terme gleich.
| ...... | Beide Rechtecke sind also maximal, jedoch sind die Formen verschieden. Sie haben die gleiche Form wie die beiden Rechtecke, die das Dreieck umschließen. |
Quadrate im Dreieck top
Wie bei den größten Rechtecken passt man ein Quadrat auf zweierlei Art und Weise in das rechtwinklige Dreieck ein.
| ...... | Zur Bestimmung der Seitenlängen wendet man wieder den 2.Strahlensatz an. Im ersten Falle folgt aus (a-x):a = x:b die Seitenlänge x = ab/(a+b). Im zweiten Fall folgt aus (h-x):h = x:c die Seitenlänge x = hc/(h+c). |
| ...... | Mehr über diese Figur aus einer Folge von Quadraten findet man auf der Webseite Right Triangle von MathWorld (URL unten). |
Zickzacklinien im Dreieck top
| ...... | Die Zickzacklinie entsteht so: Man fällt vom Fußpunkt der Höhe aus das Lot auf die Kathete a. Von diesem so entstehenden Punkt aus fällt man das Lot auf c. Diese Prozedur wiederholt man. Es entstehen nebeneinanderliegende rechtwinklige Dreiecke, die untereinander und zu dem gegebenen Dreieck ähnlich sind. |
Es gilt y1:h = a:c oder y1= (a/c)h, y2: y1 = a:c oder y2= (a/c) y1, y3:y2 = a:c oder y3 = (a/c)y1...
Allgemein gilt yn = (a/c)yn-1 mit y0=h oder explizit ausgedrückt yn = h(a/c)n-1.
Die Streckenabschnitte bilden also eine geometrische Folge mit dem konstanten Quotienten a/c.
Addiert man die Längen aller beliebig vielen Streckenabschnitte, so ergibt sich als Grenzwert der geometrischen Reihe
s = h/(1-a/c) = hc/(c-a).
| ...... | Verfolgt man die Zickzacklinie im Dreieck links der Höhe, so ergibt sich die geometrische Folge yn' = h(b/c)n-1 und als Grenzwert der Reihe s' = hc/(c-b) |
| ...... | Rechtwinklige Dreiecke können auch so aneinandergefügt werden, dass Spiralen entstehen. Die Wurzelspirale ist ein Beispiel von meiner Seite Spiralen. |
Kreise im Dreieck top
Inkreis
| ...... | Der Radius des Inkreises eines rechtwinkligen Dreiecks ist, wie oben hergeleitet, r=(1/2)(a+b-c). |
Summenformel
| Die Summe der Längen der Katheten ist gleich der Summe der Durchmesser von In- und Umkreis. In Formeln ausgedrückt: a+b=2r+2R |
a+b=2r+2R heißt a+b=2ab/(a+b+c)+c. Diese Gleichung bestätigt man durch Nachrechnen.
Kreise in den Teildreiecken
| ...... | Der Radius des Inkreises des rechten Teildreiecks ist r1 = hp/(a+p+h). Setzt man h = ab/c und p = a²/c, so ist r1= (a²b)/[c(a+b+c)] oder r1 =(a/c)r. Der Radius des Inkreises des linken Teildreiecks ist r2 = hq/(b+q+h). Setzt man h=ab/c und q = b²/c, so ist r2 = (ab²)/[c(a+b+c)] oder r2 = (b/c)r. |
Kreise in den Winkelräumen
| ...... | Neben dem Inkreis gibt es im Winkelraum der Innenwinkel drei weitere Kreise. Für den eingezeichneten Kreis gilt r' = [(c-b)/(c+b)]r. |
Herleitung der Formel
| ...... | ...... | Es gilt sin(beta) = (r-r')/(r+r'). Daraus folgt r' = [r-rsin(beta)]/[1+sin(beta)]. Setzt man sin(beta) = b/c, so ist r' = [(c-b)/(c+b)]r. |
Schwerpunkt top
| ...... | Wie jedes Dreieck hat das rechtwinklige Dreieck einen Schwerpunkt, den man als Schnittpunkt der Seitenhalbierenden erhält. Sie teilen sich im Verhältnis 2:1. |
| ...... | Rotiert man das rechtwinklige Dreieck so, dass die Katheten vertikal beziehungsweise horizontal liegen und bettet es in ein Koordinatensystem ein, so kann man die Lage des Schwerpunktes durch Koordinaten erfassen. Aus den Geradengleichungen k: y = (b/a)x und g: y = [-b/(2a)]x+b/2 ergibt sich der Schnittpunkt S[(1/3)a|(1/3)b], was zu erwarten war. |
Zwei Kegel top
| Es entstehen zwei Kegel, wenn das Dreieck jeweils um eine der beiden Katheten rotiert. Va sei das Volumen bei Rotation um a, Vb um b. Es gilt Va : Vb = a : b. |
Das Dreieck kann sich auch um die Hypotenuse drehen.
Dann entsteht ein Doppelkegel, für dessen Teilkegel Vp:Vq = p:q gilt.
Die nachfolgenden Bildchen haben Tradition. Vielleicht wollte man so dem Satz des Pythagoras die Strenge nehmen.
Rechtwinkliges Dreieck im Internet top
Deutsch
Arndt Brünner
Rechner für rechtwinklige Dreiecke
Wikipedia
Rechtwinkliges Dreieck, Satz des Pythagoras, Pythagoras, Satz des Thales, Trigonometrie
Englisch
Antonio Gutierrez
Right Triangle Formulas, The Pythagorean Curiosity, Fifteen Conclusions, Special Right Triangles
A. Bogomolny (Cut-The-Knot)
Pythagorean Theorem
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Right Triangle, Pythagoras's Theorem, Isosceles Right Triangle, 30-60-90 Triangle, Polydrafter, Polyabolo, Euler-Gergonne-Soddy Triangle, Fermat's Right Triangle Theorem
Wikipedia
Right triangle, Special right triangles, Pythagorean theorem, Pythagoras, Thales' theorem, Trigonometry
Referenzen top
(1) A.Schmid, I. Weidig:
Lambacher Schweizer S8, Mathematisches Unterrichtswerk, Stuttgart 1995 (ISBN 3-12-730730-6)
(2) A.Schmid, I. Weidig:
Lambacher Schweizer S9, Mathematisches Unterrichtswerk, Stuttgart 1996 (ISBN 3-12-730740-3)
(3) Peter Baptist: Pythagoras und kein Ende? Leipzig 1998 [ISBN 3-12-720040-4]
URL meiner Homepage:
https://www.mathematische-basteleien.de/
© 2010 Jürgen Köller